热点资讯n维球体体积的递推公式
若用Ｖn表示n维半径为1的球体的体积，则n+1维半径为1的球体的体积为
本文简要地说明积分项为何等于Vncosnθdsinθ。
首看一维情形。
n=1时，球体的体积为半径的两倍，即V1=2。
再来看二维情形。
二维球体即通常所说的圆，可以认为是这样从一维球体拓展而成的：过一维球体的球心作一维球体的垂线。沿此垂线慢慢向上平移一维球体，在移动的过程中同时慢慢地收缩一维球体，以保证收缩后的一维球体的边界点到球心的距离始终等于1。如此向上移移动一个单位长的距离后，一维球体的两边界点合二为一。因两边界点合二为一后继续向上移动，点到球心的距离就会大于1，故两边界点合二为一时也就得到了半个二维球体，即通常所说的一个半圆。
如此这般从初始位置向下移到一维球体，即可得另外半个二维球体。由对称性可知，二维球体的体积（也即我们常说的面积）等于初始的一维球体如此向上移动过程中所扫过的“体积”的两倍，或者说是如此累积起来的所有的一维球体的“总体积”的两倍。
用θ表示其中某一个一维球体的某一个边界点和球心的连线与初始一维球体的夹角。因为所有如此得到的一维球体彼此平行，且球体是完全的对称体，所以同一个一维球体上的各边界点与球心的连线与所有的一维球体的夹角相等都为θ。这一点对于高维空间显然也是成立的。由三角知识可得此一维球体的半径为cosθ，进而其一维体积就等于2cosθ。既如此，它在向上微微移动dsinθ的过程中所扫过的二维体积就为2cosθdsinθ。如此一来，2cosθdsinθ也就是求二维单位球体体积的积分项。
与上述的从一维球体拓展生成二维球体类似，三维球体也可以认为是从二维球体即通常所说的圆的基础上，经下述操作拓展生成的：
过二维球体的球心作此二维球体的垂线。沿此垂线慢慢向上平移二维球体。在移动的过程中同时慢慢地收缩二维球体，以保证二维球体所有的边界点到球心的距离始终等于1。
向上移动一个单位长度后，二维球体的边界点收缩为一个点。由此也就得到了半个三维球体，即通常所说的半个球体。整个球体的体积等于二维球体在上述过程中所扫过的体积的两倍。
用θ表示其中某一个二维球体的某一个边界点和球心的连线与初始二维球体的夹角。由三角知识可得此二维球体的半径为cosθ，进而也就推得此二维球体的二维体积为V2cos2θ。
既如此，此二维球体在向上微微移动dsinθ的过程中所扫过的三维体积也就等于V2cos2θdsinθ。这样也就得到求三维单位球体体积的积分项。
采用上述方法，不仅可继续构造出四维、五维乃至任意的n维球体，而且还可用n维单位球体的体积表示出n+1维单位球体的体积。
过n维单位球体的球心作此n维球体的垂线。需注意的是，与由一维拓展到二维，再从二维拓展到三维时一样，此垂线在新增的第n+1维度之上。若沿此线引一条矢量，则此矢量在前n个维度上的分量均为。
沿此垂线慢慢向上平移n维球体，在移动的过程中同时慢慢地收缩n维球体，使n维球体所有的边界点到球心的距离始终等于1。向上移动一个单位长度后，n维球体的边界点就完全收缩为一个点。这样也就构造出了半个n+1维球体，而整个n+1维球体的体积就等于n维球体在上述过程中所扫过的体积的两倍。
用θ表示上述操作过程中某一个n维球体的某一个边界点和球心的连线与初始n维球体的夹角。由三角知识可导出此n维球体的半径为cosθ。这样一来，此n维球体的n维体积也就等于Vncosnθ。既如此，此n维球体在向上微微移动dsinθ的过程中所扫过的n+1维体积就为Vncosnθdsinθ。由此也主得到（1）式中的积分项。
有了（1）式，原则上也就可以利用数学归纳法一步步地导出任意维单位球体的体积。