热点资讯如何在无限维空间中求导数？用变分法，推导出欧拉-拉格朗日方程
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变分法是对已知的微积分进行扩展，将其应用于无限维空间，特别是函数空间。普通的微积分关注的是一个或多个实变量的函数，而变分法处理的是函数的函数，即泛函。本文的主要目的是证明，只要给出正确的导数定义，变分法与普通微积分非常相似。我将有限维和无限维优化问题进行比较，并揭示无限维问题可以使用有限维的思想来求解。我利用这些思想推导出著名的欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equations）。
优化（Optimization）优化是数学、工程学、计算机科学等领域中寻找最佳解决方案的过程。优化的目标通常是在给定约束条件下，最大化或最小化某个目标函数。在实际应用中，优化问题可以涉及到不同领域的诸多问题，如资源分配、生产调度、投资组合选择、机器学习模型调整等。
最简单的形式是，优化问题作为一个函数给出，我们寻求使这个函数达到最小值或最大值的点。
以金融领域的马科维茨投资组合（Markowitz Portfolio）为例。假设我持有两种风险证券，其收益率方差分别为σ₁和σ₂。它们的协方差是c。我应该持有多少比例的每种证券以使投资组合的方差最小？
假设投资组合中第一种证券的比例为w，那么投资第二种证券的比例为（1-w）。给定这些参数，两个证券投资组合的总方差可以写成：
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要解决这个问题，我们需要找到一个使这个方差最小化的w。
方法在上述示例中，问题被建模为一个未知变量的函数。我们寻求一个值，使得函数的值最小。首先，我们要明确最小值的含义。
最小值的定义：设?是一个集合，f:?→ℝ是从这个集合到实数的函数。如果在?中的?₀点，f有一个局部最小值，那么?₀的某个邻域满足?(?)≥?(?₀)，对所有?∈?成立。如果对于所有?∈?，都有?(?)≥?(?₀)，那么?₀是全局最小值。
我还没有定义什么是邻域。直观地说，邻域是一个包含接近?点的?的子集。为了判断点是近还是远，我们需要在集合?上定义一些距离度量。幸运的是，实数轴以及任何欧几里得空间都自带了一种自然的距离度量。
如果x和y是n维向量空间中的点，我们可以将它们的坐标写为，
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x和y之间的距离由它们的差的范数给出：
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微积分定理中的关键结果是解决优化问题的：
定理：必要优化条件
设f：ℝₙ→ℝ是一个连续可微函数。如果?在?₀处有一个局部最小值，那么∇?(?₀)=0。
逆命题并非总是成立，但如果?有二阶导数，那么有一个更强的条件来保证最小值。
当且仅当∇?(?₀)=0且∇²?(?₀)≥0时，?在?₀处有一个局部最小值。
注意，∇?表示向量
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在一维情况下，这就是我们熟知的导数??/??。下图展示了一个函数的导数为0的点。
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这个性质表明了一种寻找最小值的简单算法：找到函数导数为0的所有点。如果有多个，计算函数在每个点的值，并选择最小值。
利用这个算法，我们现在可以解决方差最小化问题：
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取方差V关于w的导数，得到
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我们将这个表达式设为0，求解w，得到最小方差投资组合的解：
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局限性我们有一个在多维度上计算最优性的强大工具。然而，到目前为止，还有一些问题无法解决。考虑以下问题：
我在两点?1和?2之间画出一个函数?(?)：ℝ→ℝ的图像。然后我将图像绕?轴旋转，形成一个表面。这样描述的旋转表面的面积由下式给出：
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下面是一个旋转表面的示例
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我们感兴趣的是在两个固定点之间找到一个函数，使得旋转表面的面积最小。到目前为止，我们讨论的方法无法解决这个问题，因为我们寻找的不仅仅是一个数，而是整个函数。
导数上述问题需要优化一个函数的函数。这样的函数通常被称为泛函（Functional）。我们可以将泛函视为一个函数F：V→ℝ，其中V是函数空间。与我们之前处理的域?：ℝⁿ→ℝ具有有限维数的情况不同，这个新的函数空间具有潜在的无限维数。
我们可以在无限维空间中求导数吗？
首先要做的是仔细研究导数的定义，并了解如何将其扩展。在微积分课程中，点?处的导数通常定义为
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即使在这个简单的一维定义中，我们也必须小心，因为如果从左侧（h负）或右侧（h正）接近0，可能会得到不同的结果。
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定义：变分导数
设?：?→ℝ是一个定义在向量空间V（可能是无限维）上的实值函数。?在?处沿ℎ方向的变分导数定义为
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其中?是一个正实数。
注意，这个导数通常取决于方向向量ℎ。如果在计算导数时发现它与ℎ无关，那么这是一个好兆头，因为它意味着导数可能在每个方向上都有良好的定义。
欧拉-拉格朗日方程给定一个未知函数x及其导数的已知泛函L，找到使以下积分最小化的函数x：
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这是一个无限维空间中的优化问题。事实证明，情况与有限维情况类似，需要寻找I的导数等于0的地方。
?是变量?和?及其导数的函数。 ?(?,?˙)可以被视为两个变量?(?,?)的函数。这样的函数?在点(?+??′,?+??′)的泰勒展开式为
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其中e是一个很小的数。我可以将上式写为
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计算导数
现在，使用变分导数的定义
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首先，我计算?(?+?ℎ)−?(?)，其中?是一个很小的数，ℎ是一个任意函数。然而，它并不是完全任意的。h必须使端点?₁和?₂处的值保持不变。换句话说，必须有f(x₀)+h(t₁)=f(x₀)，从而得到h(t₁)=0。同样的道理也适用于t₂。下面的图片说明了这一点。
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因此，我们得到：
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现在我可以使用泰勒展开来得到
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注意，O(e²)项可以忽略不计。现在我关心的是括号中的第二项。使用微积分中的莱布尼兹规则：
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得到了第二项的表达式：
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两边积分：
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正如我们讨论过的，h必须使端点保持固定，这意味着h(t₁)=h(t₂)=0。因此，上述积分的值为0。
这是剩下的部分
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取极限消除了O(e)项。为了找到最优值，我令导数为0。
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但由于ℎ是一个（几乎）任意的函数，唯一使这成立的方式是对于每个ℎ，积分项恒等于0。
欧拉-拉格朗日方程
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应用：旋转曲面
让我们回到之前遇到的问题。我们想要找到两点之间的旋转曲面，使得其面积最小：
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我们现在可以通过使用欧拉-拉格朗日方程来解决这个问题。通过观察，可以看到在这种情况下
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由于x(t)没有出现在表达式中，所以关于x的导数为0。然而：
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所以欧拉-拉格朗日方程给出：
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重新整理得到
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这种类型的曲线被称为悬链线，由此产生的旋转曲面被称为悬链面。
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